약수와 배수, 공약수, 공배수, 최대공약수, 최소공배수

오늘은 초등 5학년 때 배우고 중학교 1학년 때 다시 배우는 약수와 배수, 공약수, 공배수, 최대공약수, 최소공배수에 대하여 알아보도록 하겠습니다

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- 약수 

어떤 수를 나누어 떨어지게 하는 수를 그 수의 약수라고 합니다. 

 

 - 배수 

어떤 수를 1배, 2배, 3배……한 수를 그 수의 배수라고 합니다.

- 약수와 배수의 관계

곱셈식에서 곱하는 두 수는 계산 결과의 약수가 되고, 계산 결과는 각각 두 수의 배수가 됩니다. 

 

3×6=18

3과 6은 18의 약수입니다. 

18은 3과 6의 배수입니다. 

 

 

- 배수 판정법

◈ 2의 배수 : 일의 자리가 2의 배수
◈ 3의 배수 : 각 자리 숫자의 합이 3의 배수
◈ 4의 배수 : 뒤의 두 자리 수가 4의 배수
◈  5의 배수 : 일의 자리가 0 또는 5
◈  9의 배수 : 각 자리 숫자의 합이 9의 배수

 

- 공약수와 최대 공약수 

두 수의 공통인 약수를 두 수의 공약수라고 합니다. 

두 수의 공약수 중에서 가장 큰 수를 두 수의 최대공약수라고 합니다. 

 

12의 약수 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

18의 약수 : 1, 2, 3, 6, 9, 18

 

12과 18의 공약수 : 1, 2, 3, 6 

12과 18의 최대공약수 : 6 

 

 

소인수 분해를 이용하여 구하는 방법

두 수 12와 18을 소인수분해하면 각각 다음과 같습니다.

12=2×2×3

18=2×3×3

이때 두 수의 공통인 소인수 2와 3을 곱한 수 2 ×3 , 즉 6은 12와 18의 최대공약수이다

이와 같이 두 개 이상의 자연수의 최대공약수는 주어진 수들을 각각 소인수분해 하여 각 수의 공통인 소인수를 모두 곱하여 구할 수 있습니다. 

 

- 공배수와 최소공배수 

두 수의 공통인 배수를 두 수의 공배수라고 합니다. 

두 수의 공배수 중에서 가장 작은 수를 두 수의 최소공배수라고 합니다. 

 

5의 배수 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70

7의 배수 : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70

 

 

공배수 : 35, 70 

최소공배수 : 35

 

 

소인수 분해를 이용하여 구하는 방법

두 수 30과 42를 각각 소인수분해하면 다음과 같습니다. 

30= 2×3×5

42=2×3×7

이때 두 수에 공통인 소인수 2, 3뿐만 아니라 공통이 아닌 소인수 5, 7을 모두 곱한 수 2×3×5×7, 210은 30과 42의 최소공배수입니다.

이와 같이 두 자연수의 최소공배수는 주어진 수들을 각각 소인수분해하여 두 수의 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 곱하여 구할 수 있습니다.

 

 

 

두 수와 최대공약수, 최소공배수 관계 

A=Ga B=Gb (G: 최대공약수 L:최소공배수 a, b는 서로소)    서로소는 최대공약수가 1인 두 자연수

L=Gab

 

A×B=L×G

Ga×Gb=Gab×G=LG

 

 

 

 

 

 

참고자료 : 교학사 교과서 

 

오늘은 초등 5학년 때 배우고 중학교 1학년 때 다시 배우는 약수와 배수, 공약수, 공배수, 최대공약수, 최소공배수에 대하여 알아보았습니다. 공부하는 학생들에게 도움이 되었으면 합니다.