수학이야기(완전수)

완전수라고 들어보셨나요? 오랜 옛날부터 수학자들은 '완전무결한 수'가 있을 것이라고 생각했고 그 수에 대한 각별한 사랑과 관심을 갖게 되었는데, 이번 포스팅에서는 호기심이 많은 수학자들이 만들어 낸 완전수에 대하여 알아보도록 하겠습니다.   

 

완전수(Perfect number)란? 

완전수란, 자기 자신을 제외한 약수(진약수)들의 합이 자기 자신이 되는 수를 말합니다. 예를 들어, 6의 약수는 자기 자신인 6을 제외한 1, 2, 3이고 진약수들의 합은 1 + 2 + 3 = 6, 즉 자기 자신이므로 6은 완전수입니다. 

조금 더 많은 예를 살펴보면 

    6 = 1 + 2 + 3 

   28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 

 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 

8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 

 

<출처 - 위키백과>

 

위의 4개의 완전수는 놀랍게도 기원전에 발견했습니다. 

 

수학자들은 완전수를 하나씩 찾아 나가면서 새로운 호기심이 발동했습니다. 완전수가 아닌 다른 수들은 어떻게 구분해야 할까? 

이런 생각은 두 가지 개념을 더 만들어 냈는데, 바로 부족수(Deficient number)와 과잉수(Abundant number)다.

부족수는 진약수의 합이 그 자신의 수보다 작아지는 수를 뜻합니다. 예를 들어 8은 진약수 1,2,4를 더하면 자기 자신보다 작아지므로 부족수입니다. 반대로 과잉수는 진약수의 합이 그 자신의 수보다 큰 수를 말합니다. 자연수 중에 가장 작은 과잉수는 12입니다. 12의 진약수 1,2,3,4,6의 합은 12보다 크기 때문입니다. 

 

완전수의 역사 

6으로 시작된 완전수의 역사를 살펴보면 아우구스투스(BC63-AD14, Augustus)는 '신이 세상을 6일 동안 창조하신 이유는 6이 완전수이기 때문이다.'라고 말하기도 하였습니다. 

완전수라는 명칭은 피타고라스(BC582-BC497, Pythagoras)를 따르는 피타고라스 학파가 처음 사용하였고, 홀수인 완전수는 아직 밝혀지지 않았으며, 완전수가 무한히 존재하는지도 아직 밝혀지지 않았다. 홀수인 완전수가 없다는 것은 증명되지 않았지만, 지금까지 발견된 정수 중에는 홀수인 완전수는 없습니다

2000년이 넘도록 수학자들은 11개의 완전수만 찾아내었고, 1977년에 한 개의 완전수를 더 찾아내었습니다. 20세기 후반에 들어오면서 컴퓨터의 발달로 새로운 완전수 찾기를 시작하였고, 1952년 캘리포니아 대학의 로빈손이 컴퓨터 SWAC를 이용하여 새로운 완전수를 발견, 2018년 12월 이전까지 51개의 완전수가 발견되었습니다. 

 

토막상식

- 삼각수 (triangular number)는 1부터 시작하는 연속된 자연수의 합을 나타내는 수입니다. 이는 그림과 같이 정삼각형 모양으로 배열된 물체의 개수와 같습니다.

 

 

 1                          1+2                      1+2+3                    1+2+3+4

 

 

 

 

 

오늘은 완전수에 대하여 알아보았습니다.

학생들의 수학적 호기심과 학교 수행평가 준비에 도움이 되는 글이었으면 합니다. 

다음에 더욱 알찬 수학이야기를 포스팅하겠습니다. 감사합니다.