프랙탈(무한반복되는 같은모양)

일상생활 속에서 많이 볼 수 있는 무한 반복되는 같은 모양을 프랙탈이라고 하는데 오늘은 프랙탈에 대하여 알아보도록 하겠습니다. 

프랙탈이란? 

부분과 전체가 똑같은 모양으로 이루어져 있는 구조를 의미하는 말입니다. 부분의 모양이 전체를 닮은 것을 '자기 유사성'이라고 하고 이러한 현상이 무한히 반복되는 현상을 '순환성'이라 합니다. 

프랙탈은 이 두 가지 성질을 모두 갖고 있는 것이 특징입니다.  

 

자연계의 리아스식 해안선, 동물혈관 분포형태, 나뭇가지 모양, 창문에 성에가 자라는 모습, 산맥의 모습도 모두 프랙탈이며, 우주의 모든 것이 결국은 프랙탈 구조로 되어 있습니다. 

이 개념은 프랑스 수학자 만델브로트(Benoit B. Mandelbrot) 박사가 1975년 ‘쪼개다’라는 뜻을 가진 라틴어 ‘프랙투스(frāctus)’에서 따와 처음 만들었습니다. 만델브로트 박사는 1967년 과학잡지 <사이언스>에 “영국의 해안선 길이는 총 얼마일까?'라는 글을 발표하였는데, 이 질문에 '영국 해안선은 어떤 기준으로 재느냐에 따라 길이가 달라진다'는 아주 엉뚱한 답변을 내놓았습니다.  그 이유는 리아스식 해안선에는 움푹 들어간 해안선 안에 굴곡진 해안선이 계속되었고, 자의 눈금 크기에 따라 전체 해안선의 길이가 달라졌고 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 되는 것이었습니다. 그는 이처럼 같은 모양이 반복되는 구조를 ‘프랙탈’이라고 부르기 시작하였습니다.

 

프랙탈의 예시

 

시어핀스키 삼각형

프랙탈의 가장 기본적인 예시로 시어핀스키 삼각형이 있습니다. 

변의 가운데 점을 연결하여 네 개의 작은 삼각형으로 나눈 뒤, 한가운데 있는 작은 삼각형을 지운 도형인데 이를 계속 반복하면 삼각형의 넓이는 0이 됩니다. 

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코흐 곡선

 

 

다른 예시로는 코흐 곡선이 있습니다. 

정삼각형의 변을 모두 삼등분한 뒤, 가운데 조각을 한 변으로 하는 정삼각형을 그려줍니다

이를 반복하면 울퉁불퉁한 해안선의 모습도 그릴 수 있습니다. 

 

생활 속 프랙탈

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번개

고사리

눈결정

 

프랙탈 카드 만들기 

1. 카드 속지와 겉지를 같은 크기로 자른다. 

 

2. 카드 속지를 다음 단계로 만든다. 

(1) 종이를 반으로 접는다. 오른쪽 그림은 펼친 모습이다. 

 

(2) 접은 선의 3등 분점에서 높이와 반만큼 자른다. 가운데 부분을 접은 후 펴서 다시 안쪽으로 접어 올린다. 

 

(3) 접은 선이 있는 곳마다 (2)의 과정을 반복하여 자르고 접고, 펴서 안쪽으로 접어 올린다. 

 

 

 

(4) (2), (3)과 같은 과정을 가능한 만큼 반복하여 펼친다. 

 

3. 처음과 같은 크기의 카드 겉지를 반으로 접어서 위에서 완성된 프랙탈 카드 속지와 풀로 겹쳐 붙인다. 

 

 

오늘은 프랙탈에 관하여 알아보았습니다. 

학생들의 수학적 호기심을 채워주고 수행평가 준비에 도움이 되었으면 합니다. 

다음에는 더 나은 내용으로 포스팅하겠습니다.